El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. Este valor puede ser conocido también como el módulo del número.
El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”.
Por ejemplo, la posición de 2 y −2 en la recta numérica indica que −2 <2, pero que ambos están a la misma distancia de 0.
Por lo tanto, se dice que −2 y 2 tienen el mismo valor absoluto.
En el caso de los números reales las generalidades del valor absoluto pueden encontrarse en una amplia variedad de ajustes aritméticos.
Por ejemplo, el valor absoluto puede ser descrito por los cuaterniones, números complejos, los campos, anillos ordenados, así como para los espacios vectoriales.
Estos valores están directamente relacionados con los conceptos de distancia, magnitud y norma en la variedad de contextos físicos y matemáticos.
Para cualquier número, si:
Entonces | x | = x y si
x ‹ 0 entonces | x | = -x
Las propiedades fundamentales del valor absoluto son:
No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.
Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa.
| x | = 0 x = 0
Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado.
| xy| = | x | | y |
Propiedad Aditiva: En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números.
| x + y| = | x | + | y |
En combinación con estas cuatro propiedades fundamentales, algunas otras de las propiedades más importantes son:
Simetría: Establece que la definición básica del valor absoluto es, en otras palabras, ignorar el signo negativo.
| - x | = x
Identidad de Indiscernibles: Equivalente de la definición positiva, establece que si el módulo de la resta de dos números es 0, entonces los dos números son iguales en su valor.
| x – y | x = y
Desigualdad Triangular: Puede ser expresada en la forma: | x – y | | x – z | + | z - x |.
Preservación de la División: Es el equivalente de la propiedad multiplicativa y establece que el módulo de la división de dos números es siempre igual a la división del módulo de los dos números por separado.
| x / y| = | x | / | y | si y 0
Dos propiedades que pueden ser significativas en algunos casos incluyen:
| x | y -y x 9
| x | y x -y ó y x
Todas las propiedades del valor absoluto pueden ser demostradas de manera idéntica. Para un mejor entendimiento, tomemos un ejemplo de prueba con los siguientes valores:
Demostrar: | 2 – 7 | › | 2 | - | 7 |
Primero, tomando el lado izquierdo | 2 – 7 |
| - 5 |
| 5 |
Ahora, resolviendo el lado derecho, tenemos
| 2 | - | 7 |
2 – 7
−5
Por tanto, se puede ver que L.I. > L.D.
Es decir, | 2 - 7| › | 2 | - | 7 |
