Calculo diferencial: 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto Curvas ortogonales

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.

Sea $\scriptstyle \mathcal{C}$ una curva, y $\scriptstyle A$ un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en $\scriptstyle A$ la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a $\scriptstyle \mathcal{C}$ en $\scriptstyle A$ es la recta $\scriptstyle T_A$ que pasa por $\scriptstyle A$ y que tiene la misma dirección que $\scriptstyle \mathcal{C}$ alrededor de $\scriptstyle A$ .

La tangente es la posición límite de la recta secante ( $\scriptstyle \overline{AM}$ ) (el segmento $\scriptstyle \overline{AM}$ se llama cuerda de la curva), cuando $\scriptstyle M$ es un punto de $\scriptstyle \mathcal{C}$ que se aproxima indefinidamente al punto $\scriptstyle A$ ( $\scriptstyle M$ se desplaza sucesivamente por $\scriptstyle M_1, M_2, M_3, \dots$

Si $\scriptstyle \mathcal{C}$ representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta $\scriptstyle \overline{AM}$ tendrá como coeficiente director (o pendiente):

$\frac {f(x) - f(a)} {x - a}$

Donde $\scriptstyle (a,f(a))$ son las coordenadas del punto $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle (x,f(x))$ las del punto $\scriptstyle M$ . Por lo tanto, la pendiente de la tangente T_Aserá:

$\lim_{x \to a} \frac {f(x) - f(a)} {x - a}$

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.

La ecuación de la tangente es $\scriptstyle T_A$ :

$y = f'(a)\cdot(x-a) + f(a)$

La recta ortogonal a la tangente $\scriptstyle \overline{AM}$ que pasa por el punto $\scriptstyle (a,f(a))$ se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por $\frac {-1} {f'(a)}$ . Siendo su ecuación:

$y = -\frac{x-a}{f'(a)} + f(a)$

suponiendo claro está que $\scriptstyle f'(a) \ne 0$ . Si $\scriptstyle f'(a) = 0$ entonces la recta normal es simplemente $\scriptstyle x = a$ . Esta recta no interviene en el.