5.2 Teorema de Rolle teorema de LaGrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial

  La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.   

§         

La ecuación de la recta tangente a  una función en el punto  A( a , f ( a ) )  viene dada por la expresión:   y – f ( a ) = f ’ ( a ) [ x – a ]

§         

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

§         

Si en un punto de la gráfica de una función se produce un cambio brusco de dirección ( “un pico” o “punto anguloso”), la función no es derivable en dicho punto.

TEOREMA DE ROLLE            

Si  f  es una función continua en  [ a , b ], derivable en  ( a , b )  y además  f ( a ) = f ( b ), entonces existe al menos un punto  c Î ( a , b )  en el que  f ’ ( c ) = 0.

          2.1     Interpretación geométrica

          

Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto  c Î ( a , b )  en el que su recta tangente es paralela al eje de abscisas (es decir, es la recta  y = f ( c ) ).

TEOREMA DEL VALOR MEDIO ( TEOREMA DE LAGRANGE)     

       

Si  f  es una función continua en  [ a , b ]  y  derivable en  ( a , b ), entonces existe al menos un punto  cÎ(a,b)  en el que  f ’ (c) = [ f ( b ) – f ( a ) ] / ( b – a ).

          3.1     Interpretación geométrica          

Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto  c Î ( a , b )  en el que su recta tangente es paralela al segmento determinado por los puntos  A( a , f ( a ) )  y  B( b , f ( b ) )

TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO (TEOREMA DE CAUCHY)    

        

Si  f  y  g  son dos funciones continuas en  [ a , b ]  y  derivables en   ( a , b ),   entonces  existe  al  menos  un   punto  c Î ( a , b )  en el que se verifica:   f ’ ( c ) [ g ( b ) – g ( a ) ] = g ’ ( c ) [ f ( b ) – f ( a ) ].

          Es inmediato comprobar que el teorema del valor medio es un caso particular del teorema del valor medio generalizado. Para ello, basta tomar la función  g ( x ) = x.