5.3 Función creciente y Función decreciente

Función creciente y Función decreciente

· Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁  y x₂, con la condición x₁ £x₂, se verifica que

 f( x₁ ) < f( x₂ ).

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂).

· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁  y x₂, que cumplan x₁ £ x₂, entonces f(x₁ ) ³ f(x₂ ).

Siempre que de x₁ < x₂ se deduzca f(x₁ ) > f(x₂ ), la función se dice estrictamente decreciente.

FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO

· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función

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 Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x² en los puntos

Resolución:

· La función y = x² es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x₃ < x₄ Þ x₃² >x₄²  (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)² > (-3)² ). Es estrictamente decreciente en x = 0.

· Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.

Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

Máximos y mínimos de una función

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es unmáximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es unmínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x³ − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x² − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Ejercicios

Problemas

Determinar a, b y c para que la función f(x) = x ³ + ax² + bx + c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.

f(x) =x³ + ax² + bx + c f′(x) = 3x² + 2ax + b

1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0

0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48

0 = 0 − 0 + b b = 0

a = 6 b = 0 c = −6

Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax ³ + bx ² + cx + d tenga unmáximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

f(x) = ax ³ +bx ² +cx +df′(x) = 3ax ² + 2bx + c

f(0) = 4 d = 4

f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0

f′(0) = 0 c = 0

f′(2) =0 12a + 4b + c = 0

a = 1 b = −3 c = 0 d = 4

Dada la función:

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx ² + x tenga extremos en los puntos x₁ = 1 y x₂ = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?

Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos

Si se aplica la primera derivada a una función se conoce el comportamiento de ésta, en los puntos donde la derivada es cero (0) habrá un valor extremo, a continuación se muestran algunos ejemplos: - A partir de la siguiente función encuentre: a)Los puntos críticos. b)Valores máximos y mínimos. c)La gráfica de la función. f(x)= 4x2 + 5x - 3 a) PUNTOS CRÍTICOS: - obtener la derivada de la función: 8x + 5 - igualar con cero (0). f'(x)= 8x + 5 = 0 x = -5/8 b)MÁXIMOS Y MÍNIMOS: - El punto crítico lo podemos obtener igualando con cero (0) la función derivada y despejando "x". - El valor de antes y después lo podemos obtener con un número menor (antes) que el punto crítico y un número mayor (después) que el punto crítico. - La primera derivada la podemos obtener sustituyendo el valor de antes y después en la primera derivada. - El comportamiento lo podemos deducir de la siguiente manera: Si el número de la primera derivada es positivo "sube", si el número es negativo "baja". - El resultado lo deducimos de la siguiente manera: Si primero "baja y luego sube" su resultado es Mínimo. Si el comportamiento es "Sube y luego baja" el resultado Máximo. c)GRÁFICA: La gráfica la podemos obtener sustituyendo en la función original el punto crítico y asi obteniendo los puntos del mínimo absoluto de la gráfica. Concavidades y puntos de inflexión Se dice que una función f(x) es convexa si al unir dos puntos cualesquiera de la gráfica, el segmento trazado queda por encima de la gráfica: En esta imagen podemos observar con distintos colores diferentes segmentos que unen dos puntos de la gráfica y que quedan por encima de ella. Ejemplo Un ejemplo de función no convexa es:  ya que encontramos segmentos que unen dos puntos de la gráfica y que pasan por debajo de ésta. Por otro lado, se dice que una función f(x) es cóncava si la función −f(x) es convexa, es decir, si los segmentos que unen los puntos de la gráfica f(x) están todos situados por debajo de la gráfica. Ejemplo Veamos un ejemplo de función cóncava:  Vulgarmente, podemos decir que las funciones convexas son funciones curvas que presentan primero un descenso y luego un ascenso y las funciones cóncavas funciona al revés, primero un ascenso y luego un descenso. Las funciones, pero, pueden presentar partes cóncavas y partes convexas en una misma gráfica, por ejemplo, la función f(x)=(x+1)3−3(x+1)2+2 presenta concavidad en el intervalo (−∞,0) y convexidad en el intervalo (0,∞):  El estudio de la concavidad y convexidad se realiza a través de los puntos de inflexión. Puntos de inflexión Se define un punto de inflexión como el punto en que la función pasa de ser convexa a cóncava o de cóncava a convexa. Ejemplo Podemos ver en el ejemplo anterior que en el punto x=0 (en el origen de coordenadas) la función pasa de ser cóncava a ser convexa, por lo tanto decimos que x=0 es punto de inflexión.  Una característica de los puntos de inflexión es que son los puntos donde la función derivada tiene máximos y mínimos. Si nos fijamos, cuando nos acercamos a un punto de inflexion la función cada vez crece más (o decrece menos), pero al sobrepasar el punto de inflexión la función empieza a crecer menos (o decrecer menos). Esto significa que justamente donde haya un punto de inflexión la derivada tendrá un máximo o un mínimo. Consecuentemente encontraremos los puntos de inflexión buscando ceros de la segunda derivada. Vamos a ilustrar el proceso con un ejemplo para así dar una explicación simple y clara: Ejemplo Consideraremos la función f(x)=x3−3x (es la función representada en la anterior gráfica). Sabemos ya calcular los máximos y los mínimos de la función f(x) usando la primera derivada. La expresión de ésta es f′(x)=3x2−3 y justamente encontramos máximos y mínimos respectivamente en x=−14 y x=1. Si representamos la gráfica de la derivada tenemos:  Observamos que justamente donde la derivada tiene un mínimo es donde la función tiene el punto de inflexión. Para saber qué punto es vamos a derivar la función derivada e igualarla a cero: f′′(x)=6x⇒6x=0⇒x=0 y por tanto la función original en x=0 tiene un punto de inflexión. El proceso para encontrar los puntos de inflexión, al igual que los máximos y mínimos, es un proceso algorítmico y muy mecánico. Derivar la función dos veces, igualar a cero y encontrar las soluciones de la ecuación. Estas soluciones justamente serán donde tengamos puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimosEl criterio de la segunda derivada proporciona la concavidad de una curva de la siguiente manera. a) Puntos críticos. b) Valores máximos y mínimos. c) Punto de inflexión. d) La gráfica de la función. f(x) = 3x^2 + 5x - 2 a) Puntos críticos: f'(x)6x + 5 = 0 x = -5/6 x = -0.83 - Para obtener el punto crítico se debe de despejar la "x" en la primera derivada. - Para obtener la segunda derivada se debe de sacar la segunda derivada y despejar la "x" si es el caso. - La concavidad se puede deducir dependiendo del resultado de la segunda derivada. Si es positivo la concavidad estará feliz. Si es negativo la concavidad estará triste. - El resultado también depende de la segunda derivada, si aumenta dependiendo del punto crítico, es mínimo, si disminuye dependiendo del punto crítico entonces será máximo. c) PUNTO DE INFLEXIÓN: - Igualar la segunda derivada con cero (0). (en este caso no hay punto de inflexión) d) GRÁFICA: - Sustituyes en la función original el punto crítico.(hay casos en que son dos puntos críticos) - Sustituyes en la función original el punto de inflexión. - Gráficas.