En función de variación acotada, también conocido como BV función, es un numero real con valores de función cuya variación total está limitado (finito):
la gráfica de una función con esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso.
Para una función continua de una sola variable, por ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección de la yEjes, dejando de lado la contribución del movimiento a lo largo de x Ejes, que recorre un punto movimiento a lo largo de la gráfica tiene un valor finito.
Para una función continua de varias variables, el significado de la definición es la misma, excepto por el hecho de que la trayectoria continua que se considera que no puede ser todo el gráfico de la función dada (que es un hipersuperficie en este caso), pero puede ser cada intersección de la propia gráfica con un hiperplano (en el caso de funciones de dos variables, una plano) paralelo a un fijo xEjes y al y Ejes.
Funciones de variación acotada son precisamente aquellos respecto de los cuales uno puede encontrar en las integrales de Riemann-Stieltjes todas las funciones continuas.
Otra caracterización de los estados que las funciones de variación acotada tienen es que encuentran que en un intervalo cerrado son exactamente los f que se puede escribir como una diferencia g − h, donde ambos g y h están limitados monótono.
En el caso de varias variables, en función f definido en un subconjunto abierto Q de Rn se dice que la variación acotada si su de distribución de derivados es un recurso finito del vector.
Uno de los aspectos más importantes de las funciones de variación acotada es que forman una álgebra de funciones discontinuas cuya primera derivada existe casi en todas partes:
debido a este hecho, se puede y con frecuencia se utilizan para definir soluciones generalizadas de problemas no lineales implican funcionales, ordinaria y ecuaciones diferenciales parciales en las matemáticas, la física y de ingeniería.
Teniendo en cuenta el problema de la multiplicación de las distribuciones o más en general el problema de la definición general de las operaciones no lineales en funciones generalizadas, función de variación acotada son los más pequeños y en la álgebra tiene que estar integrada en todos los espacios de funciones generalizadas preservar el resultado de multiplicación.
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Análisis de la Variación de la
Función
Cuando la variación total de
cualquier función particular es finita, en ese caso, esa función se conoce como
Función de Variación Acotada, que puede ser abreviada como función BV (Bounded
Variation por sus siglas en inglés). El gráfico correspondiente de la función
BV se dice entonces que se comporta bien en un sentido preciso. La función BV
tiene amplias aplicaciones en el campo de las matemáticas, y es utilizada en
algunos de los teoremas más importantes, tal como son los Teoremas de Fourier.
En el caso de la funciones continuas que contienen sólo una variable, la
variación acotada implica la distancia finita cubierta por un punto a lo largo
del eje y. Otra clasificación establece que las funciones de variación acotada,
tienen la propiedad de intervalo cerrado, son las funciones que se pueden
establecer como la diferencia entre dos monótonas acotadas.
La variación Acotada de una función determinada en el
intervalo [x, y] puede ser establecida como
Donde S es el conjunto acotado
La variación resulta ser infinita si el conjunto no es
acotado. El supremo de S puede ser llamado también como Variación Total o sólo
la variación de f y se denota como V (f; x, y) o simplemente V (x).
Existen ciertos teoremas que pueden ser útiles para el
análisis de la variación de la función:
1). Si en el conjunto [x, y], la función está incrementando,
en ese caso, es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y
consecuentemente V [g [x, y]] = g(y) – g(x).
2). Si en el conjunto [x, y] la función es constante,
entonces es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y entonces V
[g [x, y]] = 0.
Por ejemplo, la función g(r) = c es una función de variación
acotada constante en el intervalo [x, y]. |
g (ri) – g (ri - 1)| = 0 por cada partición del conjunto [a, b]. Por
tanto, V (g, [x, y]) = 0.
3) En el conjunto [x, y] si, g y f son las funciones de
variación acotada y c es constante, en ese caso
a). g es una función de variación acotada en el intervalo
[x, y].
b). g es una función de variación acotada en cada
subintervalo cerrado del intervalo [x, y].
c). cg es también una función BV en el conjunto [x, y].
d). g + f y g –f son BV en el conjunto [x, y]
e). gf es también BV en el conjunto [x, y].°°°°°°°
Algunos datos más útiles acerca de estas funciones
especiales se pueden establecer como que una función de variación acotada se
puede expresar también por la divergencia de 2 funciones crecientes.
Del mismo modo, todas las funciones totalmente continuas son
de naturaleza BV, sin embargo, no es necesario que todas las funciones
continuas BV deban ser totalmente continuas.
La función f puede ser considerada
como BV en el conjunto [x, y] si, la derivada de f se encuentra acotada en [x,
y]. Además, cuando dos funciones variación acotada se multiplican entre sí,
entonces la resultante es también una función de variación acotada.
Hay algunas propiedades básicas que son seguidas por las
Funciones de Variación Acotada:
1) Las Funciones de Variación Acotada pueden tener
discontinuidad de primer tipo, es decir, discontinuidad de salto.
