Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función y con respecto a x, la notación de Leibnitz, dx/dy, como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy (diferencial de a variable y) entre dx (diferencial de la variable x).
Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto.
La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico.
Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (fig. (a)).
Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas
cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes antiguos.
En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen
y en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber: dy = mdx, donde m es la
pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antíguo,
esto es m = f ’(x), se tiene entonces:
dy = f ’(x) dx
Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferencial.
Definición:
i. Se llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al
incremento ∆ x ; esto es dx = ∆ x .
ii. Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y en el punto x,
denotada dy, se define como dy = f ' ( x ) ∆ x , o también,
dy = f ' ( x ) dx . Interpretación geométrica de la diferencial
Sea f una función derivable en x. En el triángulo P0RQ, se tiene: RQ = m.∆x ,
en donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P0 (fig. (b)), y por tanto,
m = f ’(x0).
Así que: RQ = f ' ( x )∆ x = dy
0
Además, ( ) ( ) 0 0
∆ y = f x + ∆ x − f x (2)
Se puede observar entonces que:
∆ y : es el incremento en y medido sobre la curva; y,
dy : es el incremento en y medido sobre la recta tangente
Observaciones:
i. Si la ecuación y = f (x) corresponde a una línea recta, entonces dy = ∆ y para cualquier x del dominio.
ii. Puesto que dy = f ' ( x ) dx , si dx ≠ 0 , entonces al dividir ambos
miembros de la última igualdad por dx, se tiene: f ' (x)
dx
dy
= y se puede de esta forma interpretar la derivada de una función como el cociente de dos diferenciales.
iii. De acuerdo con la observación ii. todas las reglas de diferenciales se deducen de
las reglas de derivación (R.D.1.- R.D.16., sección ), multiplicando ambos
miembros de estas últimas por dx.
En la tabla siguiente aparecen las principales reglas de diferenciales deducidas de las
correspondientes reglas de derivación.
