Las desigualdades de primer grado, más conocidas como desigualdades lineales, son las desigualdades en las que la mayor potencia del pronumeral o variable no es mayor que 1.
Por ejemplo: x + y> 5 se puede llamar desigualdad lineal.
Estas desigualdades se pueden emplear para resolver muchos de los problemas matemáticos.
La desigualdad lineal difiere de las ecuaciones lineales por el hecho de que las ecuaciones lineales con una sola variable pueden tener solo una solución que sea verdadera. Sin embargo, en el caso de las desigualdades lineales puede haber varias soluciones para una variable que satisfaga la desigualdad correspondiente.
Por ejemplo:
La ecuación lineal 5x = 20 tiene que x = 4 es su única solución, mientras que la desigualdad 5x> 20 puede tener como su solución todos los números mayores a 4.
Reemplazando ‘=’de la ecuación lineal con mayor que ‘>’, menor que‘<’ , mayor o igual que ‘ ’ o menor o igual que el símbolo ‘ ‘, las desigualdades lineales pueden ser obtenidas.
Un sistema de desigualdades lineales consiste en más de una desigualdad que debe ser satisfecha de forma simultánea.
Por tanto, una solución del sistema de desigualdades lineales significa una solución que satisfará a todas las desigualdades del sistema, es decir, una solución que es común a todas las desigualdades del sistema.
Del mismo modo, el grupo de todas las soluciones de la desigualdad se denomina conjunto de soluciones.
Cuando se solucionan desigualdades de primer grado, algunas propiedades pueden ser muy útiles:
1. En caso que, x < y e y < z, entonces x < z,
2. Si, x < y, entonces x + z < y + z y x - z < y – z
Esto es, el curso de una desigualdad permanece igual si, de ambos lados, un número idéntico es sumado o restado.
3. Si x < y, entonces: xz < yz cuando z es positivo
xz > yz cuando z es negativo
Es decir la dirección de la desigualdad sigue siendo igual si un número idéntico positivo es sumado en sus dos lados. Sin embargo, la dirección cambia, si el mismo número negativo se añade en ambos lados de la desigualdad.
4. Si x < y e z < a, entonces x + z < y + a.
Se dice que las desigualdades en la misma dirección se pueden resumir.
5. Si x < y e ambos x e y son del mismo signo, entonces > . La dirección de la desigualdad cambia cuando los recíprocos de ambas partes se toman, en tal caso, ambas partes tienen el mismo signo.
Una comprensión más profunda del concepto se puede obtener con la ayuda de un ejemplo:
Suponga que la ecuación a resolverse es 6 1 - 4x y 1 - 4x < 9
Por razones de simplificación combinaremos ambas ecuaciones en una, esto es 6 1- 4x < 9
Paso 1: Reste 1 de ambos lados, entonces de acuerdo con la regla 2 citada anteriormente, obtenemos
6 - 1 −4x < 9 −1 5 −4x < 8
Paso 2: Ahora divida ambos lados con . De acuerdo con la regla 3, las direcciones de las desigualdades cambiarán, es decir
−5/4 x > −2
Por tanto, el conjunto de soluciones yace en el intervalo de [−5/4, −2).
